模型降階

模型降階(model order-reduction)方法是最佳化設計、最佳化控制和反問題套用中常見的方法 。其降維本質是將隨時間變化的多維物理過程進行低維的近似描述，在捕捉系統能量的意義上達到最最佳化，從而達到降低計算維數、減少計算量、節省計算時間和CPU負荷的效果 。

模型降階的一般步驟：（1）收集全階模型的信息。如全階模型隨時間變化的數值解；（2）構造降階模型所在的低維空間。如採用SVD方法對全階模型進行截斷，只保留全階模型的主要信息，捨棄大部分非主要的信息，構成低維空間的正交基。（3）將全階模型投影到低維空間，獲得降階模型。

模型降階的優缺點：計算速度和數值精度二者只能取其一，不能兩全。【優點】計算速度快，尤其在大自由度的情況下，計算速度可以得到顯著的提高。【缺點】計算速度越快 = 自由度越低 = 對全階模型特徵值的截斷越狠 = 保留原空間的信息越少，這就導致損失了大部分精度，隨著時間的推移，降階模型的數值解可能誤差會慢慢變大。

常用的模型降階方法：特徵正交分解法（Proper Orthogonal Decomposition, POD）、動力模態分解法（DMD）等。其中POD方法套用最為廣泛。

POD方法，也被稱為Kahunen-Loeve分解法，它通過一些人發展起來（首先是Kosambi），並由主成分分析、Kahunen-Loeve分解和單一值分解而為世人所熟知。該方法常被用來獲取在湍流流動、結構振動和昆蟲步態上低維近似描述，也被用於災害探測上來對動態系統的套用舉例，同時還被廣泛套用於圖像處理、信號分析和數據壓縮。國內外有很多人在處理模型降階時選擇使用POD方法，比如Boris Kramer將POD方法套用於耦合的Burgers方程、Christopher Jarvis將其套用於研究具有狄利克雷邊界和紐曼-狄利克雷邊界的Burgers方程，G. Berkooz, P. Holmes和J. L. Lumley將其套用於分析湍流模型。