攝動方法
正文
把系統視為理想模型的參數或結構作了微小擾動的結果來研究其運動過程的數學方法。這種方法最早套用於天體力學，用來計算小天體對大天體運動的影響，後來廣泛套用於物理學和力學的理論研究。攝動方法作為一般的數學方法，也是控制理論研究中的一種工具。攝動方法的基本思路是：如果一個系統Sε中包含有一個難以精確確定或作緩慢變化的參數ε，就可以令 ε＝0，使系統Sε退化為s0，而把Sε看作是s0受到（由於ε≠0而引起的）攝動而形成的受擾系統。問題因而化成為在求解S0的基礎上來找出系統Sε的運動表達式。這樣做往往能達到簡化數學處理的目的。攝動方法所提供的系統Sε的運動Γε的形式是s的冪級數（可能包含負冪次項），級數的各項係數是有關變數（時間、狀態變數等）的函式。如果在這些變數的容許變化範圍內，當ε趨於零時，Γε的表達式一致地（均勻地）趨於S0的運動表達式Γ0,就稱表達式Γε為一致有效的。攝動問題可分為正則攝動和奇異攝動兩類形式。如果令 ε＝0，Γε的表達式可化為Γ0，而且是一致有效的，就稱這個攝動問題是正則攝動問題。如果在Sε中令ε＝0會導致問題無解或多解，或者雖然當ε＝0時Sε能化為s0並有解Γ0，但表達式Γε不一致有效，則稱這個攝動問題為奇異攝動問題。正則攝動問題比較簡單，也易於處理。常用的方法有冪級數展開法（不包含ε的負冪次）、參數微分法、疊代法等。奇異攝動問題則複雜得多，當ε 趨於0時系統Sε的行為或結構往往發生本質的或劇烈的改變，出現各種複雜的現象。奇異攝動問題的研究已發展為控制理論的一個重要分支。其中常用的方法有伸縮坐標法、匹配漸近展開法、複合展開法、參數變易法、平均法、多重尺度法等。
對於弱非線性系統，若把非線性部分看作是對線性部分的攝動，常能用攝動方法（這種情況常稱為小參數法）得到相當好的結果。奇異攝動理論與分岔理論、突變論等也有比較密切的關係。
參考書目
M.Vidyasagar,Nonlinear Systems Analysis,Prentice-Hall,Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1978.
R.E.O'Malley,Introduction to Singular Perturbations, Academic Press, New York, 1974.
