定義
平面角或者從二面角的棱上任一點在兩個半平面內分別作垂直於棱的射線，則這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．
1.二面角就是用它的平面角來度量的。一個二面角的平面角多大，我們就說個二面角是多少度的二面角。
2.二面角的平面角與點（或垂直平面）的位置無任何關係，只與二面角的張角大小有關。
三垂線法
求二面角的大小是考試中經常出現的問題，而用三垂線法作二面角的平面角是求二面角大小的一個重要方法，許多同學在解題過程中由於沒有有效地利用三垂線定理（或逆定理）作出二面角的平面角，使得解題受阻．
我們把用三垂線定理（或逆定理）作二面角的平面角的方法稱為三垂線法，其作圖模型為：
如圖1，在二面角－l－中，過平面內一點A作AO⊥平面，垂足為O，過點O作OB⊥l於B（過A點作AB⊥於B），連結AB（或OB），由三垂線定理（或逆定理）知AB⊥l（或OB⊥l），則∠ABO為二面角。—l—的平面角．
作圖過程中，作出了兩條垂線AO與OB（或AB），後連結AB兩點（或OB兩點），這一過程可簡記為“兩垂一連”，其中AO為“第一垂線”．“第一垂線”能否順利找到或恰當作出是用三垂線法作二面角的平面角的關鍵，在具體解題過程中要注意以下幾點：
1．善於利用圖中已有的“第一垂線”
例1已知斜三稜柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰為AC的中點M，又知AA1與底面ABC所成的角為60°．
⑴求證：BC⊥平面AA1CC1；
⑵求二面角B一AA1—C的大小．
剖析：注意該題的第⑴問，事實上本題已經暗示了BC就是我們要尋求的“第一垂線”．
略解2A1A與底面AB成的角為60°，所以∠A1AC=60°，又M是AC中點，所以△AA1C是正三角形，作CN⊥AA1於N，點N為A1A的中點，連結BN，由BC⊥平面AA1CC1，BN⊥AA1，則∠BNC為二面角B一AA1一C的平面角．設AC=BC=a，正△AA1C的邊長為a，所以，在Rt△BNC中，tan∠BNC=，即 .
例2如圖3，在底面是直角梯形的四稜錐S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=
⑴求四稜錐S—ABCD的體積；
⑵求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．
剖析：由SA⊥面ABCD及∠ABC=90°，不難發現，BC即為“第一垂線”，但是，本題要作二面角的平面角，還需首先作出二面角的棱．
略解2延長BA、CD相交於點E，連結SE，則SE是所求二面角的棱，因為AD∥BC，BC=2AD，所以EA=AB=SA，所以SE⊥SB，因為SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線，又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角，因為，BC=1，BC⊥SB，因為tan∠BSC=，即所求二面角的正切值為．
2．藉助第三個平面，作“第一垂線”
例3如圖4，正三稜柱ABC—A1B1C1的底邊長為a，側棱長為，若經過對角線AB1且與對角線BC1平行的平面交上底面一邊A1C1於點D．
⑴確定點D的位置，並證明你的結論；
⑵求二面角A1—AB1—D的大小．
剖析：由線面平行的性質定理及三角形中位線性質，易知D是A1C1中點．二面角A1—AB1一D的放置屬於非常規位置的圖形，但是，容易發現，平面A1B1C1過點D且與平面A1AB1垂直，這樣的平面相對於二面角的兩個平面而言，我們稱為第三個平面．過D作DF⊥A1B1，由面面垂直的性質知，DF⊥面A1AB1，即DF為我們要作的“第一垂線”．
略解2在平面A1B1C1內，作CF⊥A1B1於F，連DC，由三垂線定理可證AB1⊥DG，∠DGF就是二面角A1—AB1一D的平面角，在正△A1B1C1中，因為D是A1C1中點，A1B1=a，所以，，在Rt△DFG，可求得∠DCF=45°．
3．利用特殊圖形的定義、性質作“第一垂線”
例4已知：Rt△ABC的斜邊BC在平面內，AB、AC分別與平面。成30°和45°角，求平面與△ABC所在平面所成二面角的大小．
剖析：本題中沒有相對於二面角的兩個平面的第三個平面可以藉助，但是，我們注意到AB、AC與平面所成的角均已給出，只要過A作AO⊥於O，就可以同時找到AB、AC在平面內的射影，無疑這樣得到的“第一垂線"AO有著非常特殊的位置，有利於二面角大小的計算．
解：作AO⊥於O，OD⊥BC於D，連OB，AD，OC，由三垂線定理得：AD⊥BC，所以∠ADO是二面角A—BC—O的平面角，令AO=x，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，所以AB=2x，在Rt△AOC中，∠ACO=45°，所以，因為∠BAC=90°，所以，所以。
在Rt△AOD中，，所以∠ADO=60°，所以三角形ABC與面成60°或120°的二面角．
定位
平面角一、重溫二面角的平面角的定義
，α、β是由ι出發的兩個平面，O是ι上任意一點，OC
α，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特徵：
Ⅰ、過棱上任意一點，其平面角是唯一的；
Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；
另外，如果在OC上任取上一點A，作AB⊥OD垂足為B，那么
由特徵Ⅱ可知AB⊥β.突出ι、OC、OD、AB，這便是另一特徵；
Ⅲ、體現出一完整的垂線定理（或逆定理）的環境背景。
對以上特徵進行剖析
由於二面角的平面角是由一點和兩條射線構成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點”或“定線（面）”的問題。
特徵Ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點”，耐人尋味的是這一點可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題背景相互溝通，給計算提供方便。
例1已知正三稜錐V—ABC側棱長為a，高為b，求側面與底面所成的角的大小。
由於正三稜錐的頂點V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結CH交AB於O，且OC⊥AB，則∠VOC為側面與底面所成二面角的平面角如圖⑵。正因為正三稜錐的特性，解決此問題，可以取AB的中點O為其平面角的頂點，而且使背景突出在面VOC上，給進一步定量創造得天獨厚的條件。
特徵Ⅱ指出，如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ與
α、β的交線，而交線所成的角就是α—ι—β的平面角。
由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”。
例2矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線BD把△ABD折起，
使點A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。
這是一道由平面圖形摺疊成立體圖形的問題，解決問題的關鍵在
於搞清摺疊前後“變”與“不變”。結果在平面圖形中過A作AE⊥BD交BD於O、交BC於E，則摺疊後OA、OE與BD的垂直關係不變。但OA與OE此時變成相交兩線段並確定一平面，此平面必與棱垂直。由特徵Ⅱ可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設射影落在BC上，所以E點就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了優質服務。事實上，AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5，OA′=OE=BO·tan∠CBD，而BO=AB2/BD=9/5,tan∠CBD，故OA′=27/20。在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，ty∠AOA′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。
通過對例2的定性分析、定位作圖和定量計算，特徵Ⅱ從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構成二面角的兩個半平面“擺平”，然後，在棱上選取一適當的垂線段，即可確定其平面角。“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便於定性、定位，更利於定量。
特徵Ⅲ顯示，如果二面角α—ι—β的兩個半平面之一，存在垂線段AB，那么過垂足B作ι的垂線交ι於O，連結AO，由三垂線定理可知OA⊥ι；或者由A作ι的垂線交ι於O，連結OB，由三垂線定理逆定理可知OB⊥ι，此時，∠AOB就是二面角α—ι—β的平面角，如圖。
由此可見，地面角的平面角的定位可以找“垂線段”。
例3在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為2，E為BC的中點。求面B1D1E與面積BB1C1C所成的二面角的大小。
例3的環境背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構成兩個二面角，
由特徵Ⅱ可知，這兩個二面角的大小必定互補，下面，如
果思維由特徵Ⅲ監控，背景中的線段C1D1會使眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E於O，然後連結OD1（或OC1），即得面D1BE與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，如圖，計算可得C1O=4*51/2/5。
在Rt△D1C1O中，tan∠C1OD=D1C1/C1O=51/2/2。
故所求的二面角角為arctan51/2/2或π-arctan=51/2/2
關係
以上三個特徵提供的思路在解決具體總是時各具特色，其標的是
分別找“點”、“垂面”、“垂線段”。事實上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而來。掌握這種關係對提高解題技能和培養空間想像力非常重要。
1、融合三個特徵對思維的監控，可有效地克服、抑制思維的
消極作用，培養思維的廣闊性和批判性。
例3將棱長為a的正四面體的一個面與棱長為a的正四稜錐的
一個側面吻合，則吻合後的幾何呈現幾個面？
這是一道競賽題，考生答“7個面”的占99.9%，少數應服從多數嗎？
如圖，過兩個幾何體的高線VP、VQ的垂足P、Q分別作BC的垂線，則垂足重合於O，且O為BC的中點，OP延長過A，OQ延長交ED於R。由特徵Ⅲ，∠AOR為二面角A—BC—R平面角，結合特徵Ⅰ、Ⅱ，可得VAOR為平行四邊形，VA//BE，所以V、A、B、E共面，同理V、A、C、D共面，所以這道題的答案應該是5個面！
2、三個特徵，雖然客觀存在，互相聯繫，但在許多同題中卻
表現得含糊而冷漠——三個“標的”均藏而不露，在這種形勢下，逼你去作，那么作誰？
由特徵Ⅲ，有了“垂線段”便可定位。
例4已知Rt△ABC的兩直角邊AC=2，BC=3，P為斜邊上一
點，沿CP將此直角三角形折成直二面角A—CP—B，當AB=71/2時，求二面角P—AC—B的大小。
作法一：∵A—CP—B為直角二面角，
∴過B作BD⊥CP交CP的延長線於D，則BD⊥DMAPC。
∴過D作DE⊥AC，垂足為E，連BE。
∴∠DEB為二面角A—CP—B的平面角。
作法二：過P點作PD′⊥PC交BC於D′，則PD′⊥面APC。
∴過D′作D′E′⊥AC，垂足為E′，邊PE′，
∴∠D′E′P為二面角P—AC—B的平面角。
再說，定位是為了定理，求角的大小往往要化歸到一個三角形中去解，有了“垂線段”就可把它化歸為解一個直角三角形。
由此可見，要作，最好考慮作“垂線段”。
綜上所述，二面角其平面角的正確而合理的定位，要在正確其定義的基礎上，掌握其三個基本特徵，並靈活運用它們考察問題的環境背景，建立良好的主觀心理空間和客觀心理空間，以不變應萬變。
