重心[幾何術語]

重心[幾何術語]
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數學上的重心是指三角形的三條中線的交點,其證明定理有燕尾定理或塞瓦定理,套用定理有梅涅勞斯定理、塞瓦定理。

證明

已知:△ABC中,D為BC中點,E為AC中點,AD與BE交於O,CO延長線交AB於F。求證:F為AB中點。

圖1 圖1

證明1:燕尾定理:S(△AOB)=S(△AOC),又S(△AOB)=S(△BOC),∴S(△AOC)=S(△BOC),

再套用燕尾定理即得AF=BF,命題得證。

證明2:塞瓦定理:如圖1,在△ABC中,AD、BE、CF是中線,則AF=FB,BD=DC,CE=EA。

∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1 ∴AD、BE、CF交於一點

即三角形的三條中線交於一點 。

性質

重心的幾條性質 :

1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1。

2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4.在平面直角坐標系中,重心的坐標是頂點坐標的算術平均。

5.重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。

6.三角形ABC的重心為G,點P為其內部任意一點,則3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。

7.在三角形ABC中,過重心G的直線交AB、AC所在直線分別於P、Q,則 AB/AP+AC/AQ=3

8.從三角形ABC的三個頂點分別向以他們的對邊為直徑的圓作切線,所得的6個切點為Pi,則Pi均在以重心G為圓心,r=1/18(AB²+BC²+CA²)為半徑的圓周上。

9、G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點,則PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。

重心確定方法

對於均質物體,如在幾何形體上具有對稱面、對稱軸或對稱中心,則該物體的重心或形心必在此對稱面、對稱軸或對稱中心上。下面介紹幾種常用的確定重心位置的方法。
1.組合法
工程中有些形體雖然比較複雜,但往往是由一些簡單形體的組合,這些形體的重心通常是已知的或易求的。
2.負面積法
如果在規則形體上切去一部分,例如鑽一個孔等,則在求這類形體的重心時,可以認為原形體是完整的,只是把切去的部分視為負值(負體積或負面積)。

3.實驗法(平衡法)
如物體的形狀不是由基本形體組成,過於複雜或質量分布不均勻,其重心常用實驗方法來確定。主要包括懸掛法和稱重法。

重心的套用

數學套用

⑴求線段長

1 如圖2所示,在Rt△ABC中,∠A=30°,點D是斜邊AB的中點,當G是Rt△ABC的重心,GE⊥AC於點E,若BC=6cm,則GE的長度 。

圖2 圖2

:Rt△ABC中,∠A=30°,BC=6 ∴AB=BC=12,

D是斜邊AB的中點,∴CD=1/2AB=6,

G是Rt△ABC的重心,∴CG=2/3CD=4,

由CD=AD,∠A=30°,∠GCE=30°。

Rt△GCE中,∠GCE=30°,CG=4,∴GE=1/2CG=2(cm)

⑵求面積

2  在△ABC中,中線AD、BE相交於點O,如圖3,若△BOD的面積等於5,求△ABC的面積 。

圖3 圖3

:∵O是△ABC的重心,∴AO∶OD=2∶1,

∴S∶S=2∶1, 即S=2 S=10,

∴S= S+ S=10+5=15,

又∵AD是△ABC的中線, S=2 S=30。

工程套用

重心在工程中具有重要的意義。例如,水壩的重心位置關係到壩體在水壓力作用下能否維持平衡;飛機的重心位置設計不當就不能安全穩定地飛行;構件截面的重心(形心)位置將影響構件在載荷作用下的內力分布規律,與構件受力後能否安全工作有著緊密的聯繫。總之,重心與物體的平衡、物體的運動以及構件的內力分布是密切相關的。

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