概周期微分方程

概周期微分方程

正文

其右端函式對自變數是概周期函式的微分方程；即在方程

　(1)

中,ƒ(x,t)是t的概周期函式。這裡x是n維向量,ƒ(x,t)是n維向量函式。概周期微分方程的發展歷史不長,但由於它具有實際背景(如天體力學和非線性振動的問題)而顯示出生命力。特別是，1945年，A.H.柯爾莫哥洛夫利用無理性條件，指出哈密頓系統具有擬周期解。1963年，Β.И.阿諾爾德又給出嚴格證明，由此證明了太陽系不穩定的機率為零，解決了平面限制性三體問題的穩定性問題，從而使P.-S.拉普拉斯提出的已歷時二百年的太陽系穩定性問題有了重大的突破。這樣，概周期微分方程就更顯出它的重要性。
對概周期方程（也稱概周期系統）(1),主要是討論其概周期解的存在性和穩定性。線性微分方程是微分方程論的基礎，因此概周期線性微分方程的結構以及概周期解的攝動理論也是概周期系統的重要課題。
線性系統　法瓦爾性質　對概周期線性系統

， (2)

式中A(t)是n×n概周期方陣；ƒ(t)是n維概周期向量函式，定義A(t)的外殼為

。

法瓦爾提出這樣的條件：對於(2)的齊次外殼方程系

(3)

的任一非顯易的有界解xB(t)，總滿足關係式

，

稱這條件為法瓦爾性質。這性質是從常係數線性系統或周期性線性系統總結出來的。法瓦爾指出，在這個條件下，(2)的有界解的存在性含有概周期解的存在性。
弗洛奎特理論　周期線性系統可以通過正則、線性、周期的變換化為常係數線性系統。通常稱這種關係為弗洛奎特理論。人們希望這種性質可以推廣到概周期線性系統或擬周期線性系統。G.R.塞爾指出，弗洛奎特理論不能推廣到概周期線性系統(1974)。
指數型二分性　從第一近似觀點出發，在原點附近的非線性系統

(4)

(式中A的特徵根的實部不為零),與它的線性部分 有相同的拓撲結構，原因在於後者具有指數型二分性。對於線性部分為變係數的非線性系統

， (5)

當它的線性部分

　(6)

是概周期系統且其特徵指數不為零時，R.J.薩克和塞爾研究了A(t)和其外殼H(A(t))的性質，得到(6)具有指數二分性的條件(1974、1976)。
非線性系統　對概周期系統 (1)的概周期解的求解，尚無統一的辦法。Z.奧皮爾舉出存在這樣的系統(1),它的解均有界，但沒有概周期解(1961)。A.M.芬克和P.O.弗雷德里克桑構造了一個概周期系統，其每個解都是畢竟有界，但沒有概周期解。由此可見，除了一切解有界以外，還必需附加一些條件，才能得到概周期解。在這方面G.塞費特、塞爾、米爾、J.卡托等人都提出了不同的附加條件。　類似於法瓦爾的考慮,L.阿梅里奧對概周期系統(1)提出分離性的概念，而探討概周期解的存在性。設Ｋ是(1)的定義中的緻密集，對任一g(x,t)∈h(ƒ(x,t)),當x(t),y(t)均為

　(7)

的解，且 x(t),y(t)均在K上，且常存在λ（g）>0，使‖x(t)-y(t)‖≥λ(g), 則說(1)在 Ｋ上滿足分離性條件。阿梅里奧證明了，這種情況下,(1)具有概周期的解。
討論概周期微分方程要涉及到哈密頓系統以及三體問題。
參考書目
　G.E.O.Giacaglia，Perturbation Methods in Nonlinear System,Springer-Verlag,New York,1972.
　A.M.Fink,Almost Periodic Differential Equation,Lecture Notes in Math.,377,1974.
　A.S.Besicovitch，Almost Periodic Functions，Cambridge Univ.Press,Cambridge,1932.
　T.Yoshizawa,Stability Theory and the Existence of Periodic Solution and Almost Periodic Solution,Springer-Verlag,New York,1975.
　W.A.Coppel,Dichotomies in Stability Theory,Lec-ture Notes in Math.,6201,1978.

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