四等分圓周

四等分圓周

此題目是由義大利數學家羅蘭索·馬歇羅尼(Lorenzo Mascheroni)向拿破崙·波拿巴提出的問題,但不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化,變成只給定一圓,只用圓規將此圓四等分,在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。

具體要求就是:只用圓規,不許用直尺,在平面上構造四個點,使之成為某個正方形的頂點。當然這個問題後來被證明是有解的。

思路:設半徑為1。可算出其內接正方形邊長為√2,也就是說用這個長度去等分圓周。我們的任務就是做出這個長度。六等分圓周時會出現一個√3的長度。設法構造斜邊為√3,一直角邊為1的直角三角形,√2的長度自然就出來了。
具體做法

第一步:找圓心

1 在已知圓周上任取一點A,以A為圓心,適當長為半徑作圓A,交已知圓於兩點B、C。

2 從B點出發,以AB為半徑,在圓A上連續截取3次得到點D。

3 分別以A、D為圓心,CD 為半徑畫弧,兩弧相交於E。

4 以E為圓心,EA為半徑作弧,交圓A於F。

四等分圓周 四等分圓周

5 分別以A、B為圓心,FB為半徑畫弧,兩弧交點O就是所求的已知圓的圓心。

第二步:四等分周長

1 取已知圓O上任一點A,以A為一個分點把⊙O六等分,分點依次為A、B、C、D、E、F。

2 分別以A、D為圓心,AC、BD為半徑作圓交於G。

3 以A為圓心,OG為半徑作圓,交⊙O於M、N,則A、M、D、N即四等分⊙O的圓周。

四等分圓周 四等分圓周

第三步:四等分面積

1 以A為圓心,OA長為半徑畫弧,交⊙O於兩點,取⊙O上在點A順時針方向的點為點E。

2 以E為圓心,OA長為半徑畫弧,把點O與點A用圓弧相連。

四等分圓周 四等分圓周

3 以同樣的方法作出弧OM、OD、ON,則這四條弧把⊙O面積等分。

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