等腰三角形的等分積周線

"已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，求作△ABC的等分積周線。 1.直線過三角形一頂點，容易想到這條直線是△ABC底邊的垂直平分線。 3.直線交△ABCAB

內容

等分積周線，顧名思義就是等分等腰三角形面積和周長的一條直線。

作法

已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，求作△ABC的等分積周線。
上句的經典說法是：小明有一塊等腰三角形形狀的奶油蛋糕，蛋糕邊上均勻分布著朱古力，如何切開蛋糕，是得到的兩分蛋糕有相同量的奶油和朱古力？
此題需分三種情況討論
1.直線過三角形一頂點，容易想到這條直線是△ABC底邊的垂直平分線。
2.直線交△ABCAB,AC兩邊於M,N
3.直線交△ABCAB,BC兩邊於M,N
具體做法就是硬算——以本人目前知識來看
① 若直線經過頂點，則AC邊上的中垂線即為所求線段．…………………6分

具體圖像

② 若直線不過頂點，可分以下三種情況：（a）直線與BC、AC分別交於E、F，如圖所示 過點E作eh⊥AC於點H，過點B作BG⊥AC於點G易求，BG=4，AG=CG=3設CF=x，則CE=8-x由△CEH∽△CBG，可得EH= 根據面積相等，可得 …………………………………………7分∴ （捨去，即為①）或 ∴ CF=5，CE=3，直線EF即為所求直線．……………………8分（b）直線與AB、AC分別交於M、N, 如圖所示 由 (a)可得，AM=3，AN=5，直線MN即為所求直線．（仿照上面給分）(c) 直線與AB、BC分別交於P、Q，如圖所示 過點A作AY⊥BC於點Y，過點P作PX⊥BC於點X由面積法可得， AY= 設BP=x，則BQ=8-x由相似，可得PX= 根據面積相等，可得 ………………………11分∴ （捨去）或 而當BP 時，BQ= ，捨去．∴ 此種情況不存在．……………………………12分綜上所述，符合條件的直線共有三條．