基本概念
疊代函式
在數學中，疊代函式是在碎形和動力系統中深入研究的對象。疊代函式是重複的與自身複合的函式，這個過程叫做疊代。
疊代疊代模型
疊代模型是RUP（RationalUnifiedProcess，統一軟體開發過程，統一軟體過程）推薦的周期模型。
疊代算法
疊代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重複性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重複執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變數的原值推出它的一個新值。
RUP中的疊代模型
方法
疊代的方式有所不同，假如這個產品要求6個月交貨，我在第一個月就會拿出一個產品來，當然，這個產品會很不完善，會有很多功能還沒有添加進去，bug很多，還不穩定，但客戶看了以後，會提出更詳細的修改意見，這樣，你就知道自己距離客戶的需求有多遠，我回家以後，再花一個月，在上個月所作的需求分析、框架設計、代碼、測試等等的基礎上，進一步改進，又拿出一個更完善的產品來，給客戶看，讓他們提意見。就這樣，我的產品在功能上、質量上都能夠逐漸逼近客戶的要求，不會出現我花了大量心血後，直到最後發布之時才發現根本不是客戶要的東西的情況。
優勢
這樣的方法很不錯，但他也有自己的缺陷，那就是周期長、成本很高。在應付大項目、高風險項目——就比如是太空梭的控制系統時，疊代的成本比項目失敗的風險成本低得多，用這種方式明顯有優勢。
如果你是給自己的單位開發一個小MIS，自己也比較清楚需求，工期上也不過花上個把月的時間，用疊代就有點殺雞用了牛刀，那還是瀑布模型更管用，即使是做得不對，頂多再花一個月重來，沒什麼了不起。編輯本段程式設計中的疊代
算法
簡介
有些國外的教材，如《C++Primer》第四版的中文版，會把iterative翻譯成疊代。在java中Iterative僅用於遍歷集合，本身並不提供盛裝對象的能力。如果需要創建Iterative對象，則必須有一個被疊代的集合。沒有集合的Iterative仿佛無本之木，沒有存在的價值。
iterative是反覆的意思，所以，有時候，疊代也會指循環執行，反覆執行的意思。
疊代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重複性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重複執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變數的原值推出它的一個新值。
利用疊代算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：
確定變數
在可以用疊代算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是疊代變數。建立關係式
所謂疊代關係式，指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式（或關係）。疊代關係式的建立是解決疊代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。過程控制
在什麼時候結束疊代過程?這是編寫疊代程式必須考慮的問題。不能讓疊代過程無休止地重複執行下去。疊代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的疊代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的疊代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對疊代過程的控制；對於後一種情況，需要進一步分析出用來結束疊代過程的條件。例1：一個飼養場引進一隻剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第12個月時，該飼養場共有兔子多少只?
分析：這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第1個月時兔子的只數為u1，第2個月時兔子的只數為u2，第3個月時兔子的只數為u3，……根據題意，“這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子”，則有
以下是引用片段：
u1=1，u2=u1+u1×1=2，u3=u2+u2×1=4，……
根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式：
以下是引用片段：
un=(un-1）×2(n≥2）*①
對應un和un-1，定義兩個疊代變數y和x，可將上面的遞推公式轉換成如下疊代關係：
以下是引用片段：
y=x*2
x=y
讓計算機對這個疊代關係重複執行11次，就可以算出第12個月時的兔子數。參考程式如下：
以下是引用片段：
cls
x=1
fori=2to12
y=x*2
x=y
nexti
printy
end
例2：阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用3分鐘。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器內，45分鐘後容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴220個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴?請編程式算出。
分析：根據題意，阿米巴每3分鐘分裂一次，那么從開始的時候將阿米巴放入容器裡面，到45分鐘後充滿容器，需要分裂45/3=15次。而“容器最多可以裝阿米巴220個”，即阿米巴分裂15次以後得到的個數是220。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第15次分裂之後的220個，倒推出第15次分裂之前（即第14次分裂之後）的個數，再進一步倒推出第13次分裂之後、第12次分裂之後、……第1次分裂之前的個數。
設第1次分裂之前的個數為x0、第1次分裂之後的個數為x1、第2次分裂之後的個數為x2、……第15次分裂之後的個數為x15，則有
以下是引用片段：
x14=x15/2、x13=x14/2、……xn-1=xn/2(n≥1）
因為第15次分裂之後的個數x15是已知的，如果定義疊代變數為x，則可以將上面的倒推公式轉換成如下的疊代公式：
x=x/2(x的初值為第15次分裂之後的個數220）
讓這個疊代公式重複執行15次，就可以倒推出第1次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的疊代次數是個確定的值，我們可以使用一個固定次數的循環來實現對疊代過程的控制。參考程式如下：
以下是引用片段：
cls
x=2^20
fori=1to15
x=x/2
nexti
printx
end
例3：驗證角谷猜想。日本數學家角谷靜夫在研究自然數時發現了一個奇怪現象：對於任意一個自然數n，若n為偶數，則將其除以2；若n為奇數，則將其乘以3，然後再加1。如此經過有限次運算後，總可以得到自然數1。人們把角谷靜夫的這一發現叫做“角谷猜想”。
要求：編寫一個程式，由鍵盤輸入一個自然數n，把n經過有限次運算後，最終變成自然數1的全過程列印出來。
分析：定義疊代變數為n，按照角谷猜想的內容，可以得到兩種情況下的疊代關係式：當n為偶數時，n=n/2；當n為奇數時，n=n*3+1。用QBASIC語言把它描述出來就是：
以下是引用片段：
ifn為偶數then
n=n/2
else
n=n*3+1
endif
這就是需要計算機重複執行的疊代過程。這個疊代過程需要重複執行多少次，才能使疊代變數n最終變成自然數1，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一步確定用來結束疊代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個自然數n，只要經過有限次運算後，能夠得到自然數1，就已經完成了驗證工作。因此，用來結束疊代過程的條件可以定義為：n=1。參考程式如下：
以下是引用片段：
cls
input"Pleaseinputn=";n
dountiln=1
ifnmod2=0then
rem如果n為偶數，則調用疊代公式n=n/2
n=n/2
print"—";n;
else
n=n*3+1
print"—";n;
endif
loop
end
函式
疊代法是用於求方程或方程組近似根的一種常用的算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式x=g(x），然後按以下步驟執行：⑴選一個方程的近似根，賦給變數x0;
⑵將x0的值保存於變數x1，然後計算g(x1），並將結果存於變數x0;
⑶當x0與x1的差的絕對值還大於指定的精度要求時，重複步驟⑵的計算。
若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述算法用C程式的形式表示為：
【算法】疊代法求方程的根
以下是引用片段：
{x0=初始近似根；
do{
x1=x0;
x0=g(x1）；/*按特定的方程計算新的近似根*/
}while(fabs(x0-x1）>Epsilon);
printf（“方程的近似根是%f\n”，x0);
}
疊代算法也常用於求方程組的根，令
X=(x0，x1，…，xn-1）
設方程組為：
xi=gi(X)(I=0，1，…，n-1）
則求方程組根的疊代算法可描述如下：
【算法】疊代法求方程組的根
以下是引用片段：
{for(i=0;i
x=初始近似根；
do{
for(i=0;i
y=x;
for(i=0;i
x=gi(X);
for(delta=0.0,i=0;i
if(fabs(y-x)>delta)delta=fabs(y-x);
}while(delta>Epsilon);
for(i=0;i
printf（“變數x[%d]的近似根是%f”，I，x);
printf（“\n”）；
}
具體使用疊代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況：
⑴如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，疊代過程會變成死循環，因此在使用疊代算法前應先考察方程是否有解，並在程式中對疊代的次數給予限制；
⑵方程雖然有解，但疊代公式選擇不當，或疊代的初始近似根選擇不合理，也會導致疊代失敗。
①N為兔子的個數，M為月份（N+N*1）^M-1=2N^M-1（註解）
