概述
琴生不等式
琴生不等式
琴生不等式1.若是區間上的凹函式，則對任意的，有不等式:
琴生不等式有若且唯若時等號成立。
琴生不等式 琴生不等式 琴生不等式2.若是區間上的凸函式
琴生不等式 琴生不等式，則對任意的
，有不等式:
琴生不等式有若且唯若時等號成立。
3.其加權形式為：
琴生不等式 琴生不等式 琴生不等式 琴生不等式若是區間上的凸函式，則對任意的，且，有
琴生不等式 琴生不等式 琴生不等式 琴生不等式 琴生不等式若是區間上的凹函式，則對任意的，且，有
琴生不等式
琴生不等式
琴生不等式
琴生不等式
琴生不等式備註：對於函式凹凸性與上凸、下凸的記憶法：凸=上凸=，形如；凹=下凸=，形如.
套用
有了這個結論以後，使用琴生不等式就非常方便了，
如今我們可以非常容易的證明一般情況的平均不等式
比如
琴生不等式i).
琴生不等式ii).
琴生不等式iii).
琴生不等式其中前面兩個取就可以了
琴生不等式後面一個取就可以了。
琴生不等式
琴生不等式舉一個簡單的例子：在中為凸函式（國外教材定義；若為凹函式，則國內教材定義），如圖所示：
同時，值得注意的是，上凸、下凸、凹、凸的含義是不同的。如圖：
涉及機率密度函式的形式
假設Ω是實線的可測子集， f（ x）是一個非負函式
琴生不等式在機率語言中， f是機率密度函式。
然後Jensen的不等式變成了關於凸積分的下面的陳述：
如果 g是任何實值可測函式且φ在 g的範圍內是凸的，那么：
琴生不等式如果 g（ x）= x，那么這種不等式的形式可以簡化為一個常用的特例：
琴生不等式例如：隨機變數的偶數矩
如果 g（ x）= x，並且 X是一個隨機變數，那么 g是凸的
琴生不等式所以
琴生不等式
琴生不等式特別是，如果有的甚至瞬間 2N的 X是有限的， X具有有限的均值。這個論證的延伸表明 X具有每個階的有限矩劃分 ñ。
替代有限形式
令Ω= { x，... x}，並且以μ為Ω上的計數度量，則一般形式簡化為關於和的聲明：
琴生不等式，
條件是 λi≥0和
琴生不等式還有一個無限的離散形式。
統計物理學
當凸函式是指數函式時，Jensen不等式在統計物理學中特別重要，給出：
琴生不等式，
其中期望值是關於隨機變數X中的一些機率分布。
這種情況下的證明非常簡單（參見Chandler，第5.5節）。理想的不平等直接來自書寫
{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {X} \ rightname = {E ^ {\ operatorname {E} [X]} \ operatorname {E} \ [X]} \右]}
然後套用不等式 ë≥1 + X至最終指數。
資訊理論
如果 p（ X）是用於真正的機率分布X和 q（ X）是另一種分布，然後施加Jensen不等式隨機變數 ÿ（ X）= q（ X）/ p（ X）和函式 φ（ ÿ）= -log（ y）給出
琴生不等式因此：
琴生不等式一個稱為吉布斯不平等的結果。
它表明，當代碼是基於真實機率 p而不是任何其他分布 q分配時，平均訊息長度被最小化。即非負的量被稱為相對熵的 q從 p。
由於-log（ X）為嚴格凸函式 X> 0，它遵循：當等號成立 p（ X）等於 q（ X）幾乎無處不在。
Rao-Blackwell定理
主要文章：Rao-Blackwell定理
琴生不等式如果 L是一個凸函式，一個亞西格瑪代數，然後，從Jensen不等式的條件版本中，我們可以得到
所以如果δ（ X）是給定一個可觀測量向量 X的未觀測參數θ的估計量;如果 T（ X）是θ的充分統計量;那么可以通過計算獲得改進的估計量，即具有較小的預期損失 L的意義
，相對於θ的期望值δ在所有可能的觀察值向量 X上都可以與觀察到的相同的 T（ X）值相匹配。
這個結果被稱為Rao-Blackwell定理。
