正交分解

正交分解

高中物理力學的一種求解方法。全稱為“力的正交分解”。從力的矢量性來看,是力F的分矢量;從力的計算來看,力的方向可以用正負號來表示,分量為正值表示分矢量的方向跟規定的正方向相同,分量為負值表示分矢量的方向跟規定的正方向相反.這樣,就可以把力的矢量運算轉變成代數運算.所以,力的正交分解法是處理力的合成分解問題的最重要的方法,是一種解析法。特別是多力作用於同一物體時。它是力的合成的逆運算。

基本信息

概述

概念坐標建立
1介紹:高中物理力學的一種求解方法。全稱為“力的正交分解”。2定義:將一個分解為FX和FY兩個相互垂直的分力的方法,叫作力的正交分解。
3它是力的合成的逆運算。

合力步驟

第一步,選定研究對象.並以質點的形式對進行表示。

第二步,對選定的研究對象進行受力分析。
第三步,建立直角坐標系.一般來講在水平面內可以任意建立坐標系,但是在斜面上最好沿物體下滑的方向建立x軸,然後建立Y軸。
第四步,分析加速度方向。必要時也可將加速度進行正交分解,以便於做題。
第五步,表達合外力。
第六步,列出X方向,與Y方向上的牛頓第二定律方程
第七步,若需其他方程,也要列出需要的方程,然後求解。
第八步,檢驗是否符合實際情況。(比如力為負的不可取)

目的原則

把力沿著兩個經選定的互相垂直的方向分解叫力的正交分解法,在多個共點力作用下,運用正交分解法的目的是用代數運算公式來解決矢量的運算.在力的正交分解法中,分解的目的是為了求合力,尤其適用於物體受多個力的情況,物體受到F1,F2,F3…,求合力F時,可把各力沿相互垂直的x軸,y軸分解,則在x軸方向各力的分力分別為 F1x,F2x,F3x…,在y軸方向各力的分力分別為F1y,F2y,F3y….那么在x軸方向的合力Fx=F1x+F2x+F3x+…,在y軸方向的合力Fy=F1y+ F2y+ F3y+…合力,設合力與x軸的夾角為θ,則.在運用正交分解法解題時,關鍵是如何確定直角坐標系,在靜力學中,以少分解力和容易分解力為原則;在動力學中,以加速方向和垂直加速度方向為坐標軸建立坐標,這樣使牛頓第二定律表達式為:F=ma

典型例題

實例--力實例--力
例1.物體放在粗糙的水平地面上,物體重50N,受到斜向上方向與水平面成30°角的力F作用,F = 50N,物體仍然靜止在地面上,如圖1所示,求:物體受到的摩擦力和地面的支持力分別是多少。 解析:對F進行分解時,首先把F按效果分解成豎直向上的分力和水平向右的分力,對物體進行受力分析如圖2所示.F的效果可以由分解的水平方向分力Fx和豎直方向的分力Fy來代替.則:
由於物體處於靜止狀態時所受合力為零,則在豎直方向有:Fy=Fsin30°則在水平方向上有:Fx=Fcos30°。
例2.如圖3所示,一物體放在傾角為θ的光滑斜面上,求使物體下滑的力和使物體壓緊斜面的力。
解析:使物體下滑的力和使物體壓緊斜面的力都是由重力引起的,把重力分解成兩個互相垂直的兩個力,如圖4所示,其中F1為使物體下滑的力,F2為物體壓緊斜面的力,則:
點評:F1和F2是重力的分力,與重力可以互相替代,但不能共存。
如圖5所示,拉力F作用在重為G的物體上,使它沿水平地面勻速前進,若物體與地面的動摩擦因素為μ,當拉力最小時和地面的夾角θ為多大
解析:選取物體為研究對象,它受到重力G,拉力F,支持力N和滑動摩擦力f的作用,根據平衡條件有:
解得。
設,則,代入上式可得:
當時,,此時F取最小值。
拉力取最小值時,拉力與地面的夾角
點評:這是一個和數學最值知識相結合典型例題,同學們可以通過本題體會和總結用數學知識解決物理問題的方法,逐步建立數學物理模型。
例3:大小均為F的三個力共同作用在O點,如圖6所示,F1,F2與F3之間的夾角均為60°,求合力。
解析:此題用正交分解法既準確又簡便,以O點為原點,F1為x軸建立直角坐標;
⑴分別把各個力分解到兩個坐標軸上,如圖7所示:
⑵然後分別求出x軸y軸上的合力
⑶求出Fx和Fy的合力既是所求的三個力的合力如圖8所示,則合力與F1的夾角為60°
點評:用正交分解法求共點力的合力的運算通常較為簡便,因此同學們要在今後學習中經常套用。

運用關鍵

在處理力的合成和分解問題時,我們常把力沿兩個互相垂直的方向分解,這種方法叫做力的正交分解法。這是一種很有用的方法,在運用時要注意以下幾點:
1.力是矢量F′在X軸Y軸上的分矢量F′x和F′y是矢量,分量為正值表示分矢量的方向跟坐標軸的方向相同,分量為負值表示分矢量的方向跟坐標軸的方向相反。
2.確定矢量正交分量的坐標軸,不一定是取豎直方向和水平方向。例如,分析物體在斜面上的受力情況,一般選取x軸斜面平行,y軸與斜面垂直。坐標軸的選取是以使問題的分析簡化為原則。通常選取坐標軸的方法是:選取一條坐標軸與物體運動的加速度的方向相同(包括處理物體在斜面上運動的問題),以求使物體沿另一條坐標軸的加速度為零,這樣就可得到外力在該坐標軸上的分量之和為零,從而給解題帶來方便。

矩陣的正交分解

矩陣的正交分解

正交分解正交分解
矩陣的正交分解是指A分解為一個正交矩陣Q和一個對角可逆上三角矩陣R的乘積。

矩陣正交分解的套用

正交分解是先將線性方程組Ax=b的係數矩陣A分解為一個正交矩陣Q和一個對角可逆上三角矩陣R的乘積。然後通過求解上三角方程組Rx=Qb而求得原方程組的解,這種方法一般比三角分解法運算量大,但數值穩定性較好。

弧形的正交分解

以受力點為切點做圓弧的切線,再進行分解。

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