相關理論
一、文化歷史發展觀
維果斯基所提出的“文化──歷史”發展理論認為：人的高級心理機能亦即隨意的心理過程，並不是人自身所固有的、而是在與周圍人的交往過程中產生與發展起來的，是受人類的文化歷史所制約的。其實現的具體機制是通過物質工具，如刀斧、計算機等，以及精神工具，如各種符號、詞和語言等實現的。
高級心理機能不同於低級心理機能的特點
（1）它們是隨意的、主動的，是由主體按照預定的目的而自覺引起的；
（2）它們的反映水平是概括的、抽象的，也就是各種機能由於有思維的參與而高級化；
（3）它們實現過程的結構是間接的，是以符號或詞為中介的；
（4）它們的起源是社會文化歷史發展的產物，是受社會規律制約的；
（5）從個體發展來看它們是在人際的交往過程中產生和不斷發展起來的。
二、人的發展過程中社會文化歷史的作用
為此，維果斯基特彆強調在人的發展過程中社會文化歷史的作用，尤其是強調活動和社會交往在人的高級心理機能發展中的突出作用。他認為，高級的心理機能來源於外部動作的內化，這種內化不僅通過教學，也通過日常生活、遊戲和勞動等來實現。另一方面，內在的智力動作也外化為實際動作，使主觀見之於客觀。內化和外化的橋樑便是人的活動。另外，維果斯基在說明教學與發展的關係時，提出了“最近發展區”的理論。他認為教學必須要考慮兒童已達到的水平並要走在兒童發展的前面。為此，就要確定兒童的發展水平。兒童發展的兩種水平：一是現有的發展水平，二是在有指導的情況下藉助成人的幫助可以達到的解決問題的水平，或是藉助於他人的啟發幫助可以達到的較高水平。這兩者之間的差距，即兒童現有水平與經過他人幫助可以達到的較高水平之間的差距，就是“最近發展區”。這一思想對正確理解教育與發展之間的關係，具有重要意義。
三、認知信息加工論
許多認知心理學家把認知看作是對信息的加工。奈瑟（Neisser）認為：“認知是指轉換、簡約、加工、貯存、提取和使用感覺輸入的所有過程。”認知信息加工理論一個最重要的術語是“建構（construction），即認知過程是建構性質的。它包括兩個過程：
首先是基本過程（primary process），它是在受到外部事件或內部經驗刺激時馬上發生的。這個階段只是粗略地轉換信息，以便根據貯存信息形成想法，這一階段基本上是自動發生的。
其次是二級過程（ secondary process），它涉及有意識的控制，是比較精緻地轉換和建構觀念和映象。相比之下，這一過程受貯存信息、個體的意圖和期望的影響程度較大些。
認知信息加工學說認為，思維有一種執行控制的機制，就像電腦程式中有一種執行程式一樣；認知建構過程中的二級過程的認知運演是習得的，儘管它們部分地受遺傳的影響。其中記憶的內容，以及轉換和重建內容的策略，也是習得的；同時可以通過對視知覺的類推，來描述和解釋記憶和遺忘的過程。
四、皮亞傑認知發展的階段性理論
皮亞傑（Piaget, J.）提出的認知發展的階段性理論，具有非常廣泛和深遠的影響。他認為，兒童認知形成的過程是先出現一些憑直覺產生的概念（並非最簡單的概念），這些原始概念構成思維的基礎，在此基礎上經過綜合加工形成新概念，建構新結構，這種過程不斷進行，這就是兒童認知結構形成的主要方法。
五、圖式、同化、順應和平衡
皮亞傑認為，隨著兒童年齡的增長，其認知發展涉及到圖式、同化、順應和平衡四個方面。其中圖式是動作的結構或組織，它們在相同或類似的環境中，會由於重複而引起遷移或概括。所謂同化，就是個體將環境因素納入已有的圖式之中，以加強和豐富主體的動作；所謂順應，就是個體改變自己的動作以適應客觀變化。個體就是不斷地通過同化與順應兩種方式，來達到自身與客觀環境的平衡的。圖式最初來自先天的遺傳，以後在適應環境的過程中，不斷變化、豐富和發展，形成了本質不同的認知圖式（或結構）。
圖式的四個具體階段
每一種新的圖式的出現，都標誌著兒童認知發展進入到了一個新的階段。為此，他提出具體地表現為以下幾個階段：
第一，感知運動階段（從出生~2歲左右）。此時語言還未形成，主要通過感知覺來與外界取得平衡，處理主、客觀的關係；
第二，前運算階段（2歲~7歲左右）。語言的出現與發展，使兒童能用表象、言語，以及符號來表征內心世界和外在世界。但其思維還是直覺性的、非邏輯性的，且具有明顯的自我中心特徵；
第三，具體運算階段（7歲~11歲左右）。思維具有明顯的符號性和邏輯性，能進行簡單的邏輯推演。但在很大程度上局限於具體的事物，以及過去的經驗，缺乏抽象性；
第四，形式運算階段（11歲~15歲左右）。能夠把思維的形式與內容相分離，能夠設定和檢驗假設，監控和內省自己的思維活動，思維已經進入到了抽象的邏輯思維階段。
皮亞傑認為，任何人的認知發展都要經歷上述四個連續的階段，且這種連續發展的先後次序是不變的。這種發展模式具有全球性的意義，在任何文化社會中都一樣。每一個階段都是形成下一個階段的必要條件和基礎。雖然，在兩個相繼發展的認知階段之間存在著質的差異，但這種差異是思維發展量變到質變的必然結果。
布魯納的教育理論
布魯納（J.S.Bruner）認為，教育的主要目的是為學生提供一個現實世界的模式，學生可以藉此解決生活中的一切問題。這個模式涉及儲存信息的內部系統，而信息是通過人與周圍環境的相互作用獲得的。學習任何一門學科時，總是由一系列的片斷所組成，而每一片斷（或一個事件）總是涉及到獲得、轉換和評價三個過程。布魯納由此認為，學生不是被動的知識接受者，而是積極的信息加工者。
知識結構的重要性
布魯納強調知識結構的重要性。認為知識結構就是某一學科領域的基本觀念，它不僅包括掌握一般原理，而且還包括學習的態度和方法。懂得基本原理可使得學科更容易理解；有利於記憶，適於遷移；能夠縮小知識間的初、高級水平層次的間隙。布魯納認為，任何學科的基礎都可以用某種形式教給任何年齡的任何人。
為實現上述目標，他特彆強調教育過程中直覺思維的價值。直覺思維的訓練是創造性思維培養的基礎。所謂直覺思維是與分析思維（日常教學中注重培養的以一次前進一步，以仔細的規定好的演繹推理或歸納推理為其特徵，步驟明顯，常常能由思維者向別人作適當的報導的思維方式）不同，直覺思維以熟悉所牽涉到的知識領域及其結構為根據，使思維者可能實行躍進、越級和採取捷徑，但是以後需要用比較分析的方法（不論演繹法或歸納法），重新檢驗所作的結論。
學習的激勵制度
同時，他強調學習是一個主動的過程。應該作出更多的努力使學生對學習產生興趣，主動地參加到學習中去、並且從個人方面體驗到有能力來對待他的外部世界。為激發學生的學習動機，布魯納提倡採取發現學習的教學方式。他認為對於學習，了解一般的原理原則固然重要，但尤其重要的是發展一種態度，即探索新情境的態度，作出假設，推測關係，套用自己的能力，以解決新問題或發現新事物的態度。所謂發現，當然不只限於發現人類尚未知曉的事物的行動，而且還包括用自己頭腦親自獲得知識的一切形式。
理論發展
建構主義的知識觀
知識不是對現實的純粹客觀的反映，任何一種傳載知識的符號系統也不是絕對真實的表征。它只不過是人們對客觀世界的一種解釋、假設或假說，它不是問題的最終答案，它必將隨著人們認識程度的深入而不斷地變革、升華和改寫，出現新的解釋和假設。
·知識並不能絕對準確無誤地概括世界的法則，提供對任何活動或問題解決都適用的方法。在具體的問題解決中，知識是不可能一用就準，一用就靈的，而是需要針對具體問題的情境對原有知識進行再加工和再創造。
知識不可能以實體的形式存在於個體之外，儘管通過語言賦予了知識一定的外在形式，並且獲得了較為普通的認同，但這並不意味著學習者對這種知識有同樣的理解。真正的理解只能由學習者自身基於自己的經驗背景而建構起來，取決於特定情境下的學習活動過程。否則，就不叫理解，而是叫死記硬背或生吞活剝，是被動的複製式的學習。
顯然，這種知識觀是對傳統課程和教學理論的巨大挑戰。照建構主義看來，課本知識，只是一種關於某種現象的較為可靠的解釋或假設，並不是解釋現實世界的“絕對參照”。某一社會發展階段的科學知識固然包含真理，但是並不意味著終極答案，隨著社會的發展，肯定還會有更真實的解釋。更為重要的是，任何知識在為個體接收之前，對個體來說是沒有什麼意義的，也無權威性可言。所以，教學不能把知識作為預先決定了的東西教給學生，不要以我們對知識的理解方式來作為讓學生接收的理由，用社會性的權威去壓服學生。學生對知識的接收，只能由他自己來建構完成，以他們自己的經驗為背景，來分析知識的合理性。在學習過程中，學生不僅理解新知識，而且對新知識進行分析、檢驗和批判。
建構主義的學習觀
當代建構主義者主張，世界是客觀存在的，但是對於世界的理解和賦予意義卻是由每個人自己決定的。我們是以自己的經驗為基礎來建構現實，或者至少說是在解釋現實，每個人的經驗世界是用我們自己的頭腦創建的，由於我們的經驗以及對經驗的信念不同，於是我們對外部世界的理解便也迥異。所以，學習不是由教師把知識簡單地傳遞給學生，而是由學生自己建構知識的過程。學生不是簡單被動地接收信息，而是主動地建構知識的意義，這種建構是無法由他人來代替的。
學習過程同時包含兩方面的建構：一方面是對新信息的意義的建構，同時又包含對原有經驗的改造和重組。這與皮亞傑關於通過同化與順應而實現的雙向建構的過程是一致的。只是建構主義者更重視後一種建構，強調學習者在學習過程中並不是發展起供日後提取出來以指導活動的圖式或命題網路，相反，他們形成的對概念的理解是豐富的、有著經驗背景的，從而在面臨新的情境時，能夠靈活地建構起用於指導活動的圖式。
任何學科的學習和理解都不像在白紙上畫畫，學習總要涉及到學習者原有的認知結構，學習者總是以其自身的經驗，包括正規學習前的非正規學習和科學概念學習前的日常概念，來理解和建構新的知識和信息。即學習不是被動接收信息刺激，而是主動地建構意義，是根據自己的經驗背景，對外部信息進行主動的選擇、加工和處理，從而獲得自己的意義。外部信息本身沒有什麼意義，意義是學習者通過新舊知識經驗間的反覆的、雙向的相互作用過程而建構成的。因此，學習不是像行為主義所描述的“刺激──反應”那樣。學習意義的獲得，是每個學習者以自己原有的知識經驗為基礎，對新信息重新認識和編碼，建構自己的理解。在這一過程中，學習者原有的知識經驗因為新知識經驗的進入而發生調整和改變。所以，建構主義者關注如何以原有的經驗、心理結構和信念為基礎來建構知識。
建構主義的教學觀
建構主義者強調學習的主動性、社會性和情境性，對學習和教學提出了許多新的見解，主要有：
由於事物的意義並非完全獨立於我們而存在，而是源於我們的建構，每個人都以自己的方式理解事物的某些方面，教學要增進學生之間的合作，使學生看到那些與他不同的觀點的基礎。因此，合作學習（cooperative learning）受到建構主義者的廣泛重視。這些思想是與維果斯基對於社會交往在兒童心理發展中的作用的重視的思想相一致的。學習者以自己的方式建構對於事物的理解，從而不同的人看到的是事物的不同的方面，不存在唯一的標準的理解，通過學習者的合作使理解更加豐富和全面。
教學不能無視學習者的已有知識經驗，簡單強硬地從外部對學習者實施知識的“填灌”，而是應當把學習者原有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學習者從原有的知識經驗中，生長新的知識經驗。這一思想與維果斯基的“最近發展區”的思想相一致。教學不是知識的傳遞，而是知識的處理和轉換。
教師不單是知識的呈現者，不是知識權威的象徵，而應該重視學生自己對各種現象的理解，傾聽他們時下的看法，思考他們這些想法的由來，並以此為據，引導學生豐富或調整自己的解釋。教學應在教師指導下以學習者為中心，當然強調學習者的主體作用，也不能忽視教師的主導作用。教師的作用從傳統的傳遞知識的權威轉變為學生學習的輔導者，成為學生學習的高級夥伴或合作者。教師是意義建構的幫助者、促進者，而不是知識的提供者和灌輸者。學生是學習信息加工的主體，是意義建構的主動者，而不是知識的被動接收者和被灌輸的對象。簡言之，教師是教學的引導者，並將監控學習和探索的責任也由教師為主轉向學生為主，最終要使學生達到獨立學習的程度。
情境性教學與整體性的構架
提倡情境性教學。建構主義認為，學習者的知識是在一定的情境下，藉助他人的幫助，如人與人之間的協作、交流、利用必要的信息等等，通過意義的建構而獲得的。理想的學習環境應當包括情境、協作、交流和意義建構四個部分。學習環境中的情境必須有利於學習者對所學內容的意義建構。在教學設計中，創設有利於學習者建構意義的情境是最重要的環節或方面；協作：應該貫穿於整個學習活動過程中。教師與學生之間，學生與學生之間的協作；交流：交流是協作過程中最基本的方式或環節。其實，協作學習的過程就是交流的過程，在這個過程中，每個學習者的想法都為整個學習群體所共享。交流對於推進每個學習者的學習進程，是至關重要的手段；意義的建構是教學活動的最終目標，一切都要圍繞這種最終目標來進行。
同時，教學應使學習在與現實情境相類似的情境中發生，以解決學生在現實生活中遇到的問題為目標，為此學習內容要選擇真實性任務（authentic task），不能對其做過於簡單化的處理，使其遠離現實的問題情境。由於具體問題往往都同時與多個概念理論相關，所以，他們主張弱化學科界限，強調學科間的交叉。這種教學過程與現實的問題解決過程相類似，所需要的工具往往隱含於情境當中，教師並不是將提前已準備好的內容教給學生，而是在課堂上展示出與現實中專家解決問題相類似的探索過程（甚至有人主張教師不要備課），提供解決問題的原型，並指導學生的探索。主張，一方面要提供建構理解所需的基礎，同時又要留給學生廣闊的建構空間，讓他們針對具體情境採用適當的策略。
在教學進程的設計上，建構主義者提出如果教學簡單得脫離情境，就不應從簡單到複雜。而要呈現整體性的任務，讓學生嘗試進行問題的解決，在此過程中學生要自己發現完成整體任務所需實現完成的子任務，以及完成各級任務所需的各級知識技能。教學活動中，不必非要組成嚴格的直線型層級，因為知識是由圍繞著關鍵概念的網路結構所組成，它包括事實、概念、概括化以及有關的價值、意向、過程知識、條件知識等。學生可以從知識結構網路的任何部分進入或開始。即教師既可以從要求學生解決一個實際問題開始教學，也可以從給一個規則入手。在教學中，首先選擇與兒童生活經驗有關的問題（這種問題並不是被過於簡單化），同時提供用於更好地理解和解決問題的工具。而後讓學生單個地或在小組中進行探索，發現解決問題所需的基本知識技能，在掌握這些知識技能的基礎上，最終使問題得以解決。
學習的兩種層次
·學習可以分為初級學習與高級學習兩種層次。初級學習是學習中的低級階段，教師只要求學生知道一些重要的概念和事實，在作業中學生只要將他們所學的東西按原樣再生出來，為此，初級學習的內容主要是結構良好的領域（well-structured domain）。
傳統教學往往混淆了初級學習與高級學習之間的界限，將初級學習階段的教學策略（如將整體分割為部分、著眼於普遍原則的學習、建立單一標準的基本表征等）不合理地推及到高級學習階段的教學中；同時，教學設計從低到高、由局部到整體地展開學習過程的做法，使得教學過於簡單化。這種簡單化使得學生的理解簡單片面，妨礙了學習在具體情境中更廣泛而靈活地遷移。
建構主義的目的
建構主義的目的就是要尋求適合於高級學習的教學途徑。其中適合於高級學習的教學途徑之一就是隨機通達教學（Random Access Instruction）。“隨機通達教學”認為，對同一內容的學習要在不同時間多次進行，每次的情境都是經過改組的，而且目的不同分別著眼於問題的不同側面。這種反覆絕非為鞏固知識技能而進行的簡單重複，因為在各次學習的情境中會有互不重合的地方，而這將使學習者對概念知識獲得新的理解。這種教學避免抽象地談概念的一般運用，而是把概念具體到一定的實例中，並與具體情境聯繫起來。每個概念的教學都要涵蓋充分的實例（變式），分別用於說明不同方面的含義，而且各實例都可能同時涉及到其它概念。在這種學習中，學習者可以形成對概念的多角度理解，並與具體情境聯繫起來，形成背景性經驗。這種教學有利於學習者針對具體情境建構用於指引問題解決的圖式。可以看出，這種思想與布魯納關於訓練多樣性的思想是一致的，是這種思想的深入發展。
相關簡評
積極的一面
建構主義者在吸收維果斯基、認知信息加工學說、皮亞傑、布魯納等思想的基礎上提出的許多富有創見的教學思想，如強調學習過程中學習者的主動性、建構性；對於學習做了初級與高級學習的區分，批評傳統教學中把初級學習的教學策略不合理地推及到高級學習中；提出合作學習、情境性教學等，對深化當前的教育教學改革具有深遠的意義。
局限性
但是，傳統教學重視知識的確定性和普遍性，注重分析和抽象，這在學習的初級階段是必要且有其合理性的。全盤否定它，同樣會犯以偏概全，以特殊代替一般的錯誤，會引起教學上的混亂。提倡情境性教學，力主具體和真實，但由此而反對抽象和概括，認為進行抽象的訓練是沒有用的也是片面的。
全面思考的必要性
我們應該以辨證唯物主義為指導，全面衡量學習中的具體與抽象、初級與高級學習等之間的關係。正確處理學生學習與人類學習之間的關係，不要忽視學生學習的特殊性。學生的學習主要是掌握間接經驗的過程，由此它與人類認識客觀世界的過程有所不同。人類認識是從實踐活動開始的，而學生的學習過程則未必如此。學生既可以從實踐，從學習具體經驗開始，也可以從學習間接經驗、現有的經驗、理論、結論開始，同時補充以感性經驗。而且，從教育的功能上看，間接經驗的學習形式仍是主要的，學生的學習不可能事事從直接經驗開始。這就要求教師在教學過程中注意把學校學習與實際生活以及學生的原有經驗緊密相聯。
建構主義學習理論對當前教育實踐的啟示：
1、從建構主義知識觀出發，知識是個體對現實的理解和假設，受特定經驗和文化影響，每個人對知識的構建的理解是不同的。教師應重視學生的個性化特點，因材施教，讓每個學生能按照自己的知識建構出新知識。2、從教學角度看，建構主義認為學習是學生主體對學習客體的主動探索、不斷變革，從而建構對客體意義理解的過程。因此，教學應注意學生的有意義建構，啟發學生自主建構知識結構。3、從學習者角度出發，建構主義認為學生是意義的主動建構者。因此，在教學中應充分發揮學生主體地位，強調學生自主性和能動性，在學習中主動發現、分析、解決問題。
名詞解釋
創新意識
一個人根據社會和個體生活發展的新需要，引起某種創造動機，表現出創造的意向和願望，這種創造意向和願望就是創新意識。創新意識是人們進行創造性活動的出發點和內在動力，它以感知、記憶、思考想像等能力為基礎，體現著智力品質的綜合性，並表現出目的性、探索性、求新性和超越性的基本特徵。創新意識是創造力得以發揮得前提條件，具有創新意識的人才能對已積累的知識和經驗進行科學的加工創造，產生新知識、新思想、新概念、新成果或新產品。
一般來講，科學創新的基礎在於知識準備，因為創造不能憑空亂想，知之甚少或知之不多是無法創新的。惟有知之甚多，才能為創新意識的形成提供肥沃而寬廣的土壤。同時，還要鍛鍊思維的批判性，因為習慣和傳統是創造的頑敵。當然，避免狹隘性，培養虛懷若谷的非智力因素方面的品格也是創新意識培養的重要方法。
實踐能力
實踐是人們改造客觀世界的一切活動，是主觀見之於客觀的東西。由於活動是人存在和發展的方式，是人的主體性生成和發展的源泉和能力。因此，當代教育學強調對學生實踐能力的培養。
實踐具有如下的特點：第一，實踐是客觀的、物質的活動。實踐雖是人們在一定思想指導下所從事的改造客觀世界的活動，但任何實踐活動都是由實踐的主體（人）、實踐的手段（工具、機器、設備等）和實踐的對象（客觀世界）等客觀的、物質的要素構成的，並且在實踐過程中要受客觀物質世界及其規律所制約。只有按照客觀物質世界的規律進行才能取得成功，如果不按照客觀物質世界的規律進行就要遭到失敗。因此實踐具有直接現實性的優點，實踐的結果能為人們提供現實的物質成果。所以實踐是客觀的物質活動。第二，實踐是能動的活動。實踐是人所獨有的、有目的、有意識、有計畫進行的活動，它能夠為人們創造出自然界所沒有的東西。第三，實踐是社會的活動。人是社會的人，人是生活在一定的社會關係之中的，人的實踐是在一定的社會關係之中進行的，所以實踐是社會的實踐。
實踐的形式是多種多樣的，但基本形式是日常生活、生產實踐，以及科學實驗。這三項基本形式各有其獨特的作用，但同時它們又是相互聯繫、相互作用的，構成一個統一的整體。
能力在心理學中的含義是指“人們成功地完成某種活動所必需的個性心理特徵。”它有兩層涵義：一是指已表現出來的實際能力和已達到的某種熟練程度，可用成就測驗來測量；二是指潛在能力，即尚未表現出來的心理能量，通過學習與訓練後可能發展起來的能力與可能達到的某種熟練程度，可用性向測驗來測量。心理潛能是一個抽象的概念，它只是各種能力展現的可能性，只有在遺傳與成熟的基礎上，通過學習才可能變成實際操作能力，心理潛能是實際能力形成的基礎和條件，而實際操作能力是心理潛能的展現，二者是不可分割的統一體。
由此可見，實踐能力主要是指人們在各種實踐活動中所展現出來的完成該活動所必需的個性心理特徵。
在教學過程中對學生實踐能力的培養主要做法是，要最大限度地調動學生的積極性，使他們主動地動口、動手、動眼、動耳、動腦，去做、去實際操作、體驗和表現，實現學生學習活動方式的自主、參與和合作。
套用意識
在此要搞清兩個概念，這就是“套用數學”與“數學的套用”。在以往長期的數學研究過程中，數學家習慣地常將數學分為兩類：一類是純粹數學，它主要研究數學本身的內部規律，暫時撇開具體內容而以純粹形式研究事物的量的關係和空間形式；另一類是套用數學，它主要是從數學領域之外的自然現象、社會現象等的研究中產生的，著眼於解決實際問題，解釋和說明各種自然現象、社會現象，從而把量的關係與空間形式同事物的質聯繫在一起來研究。二者常常在研究的動機、態度、方法以及滿意的標準方面各不相同。但二者之間又是緊密相聯的：對純粹數學來說，套用數學是它的一個重要源泉，而且現在仍然是純粹數學靈感的經常的來源──但是，那不是絕對必需的；對套用數學來說，純粹數學的概念和演繹法是一種工具，一種布局的計畫，而且常常是對客觀世界的真理的一種強有力的啟示，因此是套用數學的有機整體中一個不可缺少的部分。
這樣一來，套用數學就成了一個專有名詞。而關於“數學的套用”，主要是從數學科學本身的特點──具有高度的抽象性、嚴謹的邏輯性，從而導致具有廣泛的套用性的角度來說明數學學科的作用，特別是它在教育中的對人的發展的重要作用的。也就是說，數學的套用強調的是掌握數學科學的理論，並將其套用於現實之中。它與“套用數學”的區別是，後者帶有濃厚的研究的色彩，而數學的套用更突出的是學習與使用數學科學已有的成果。
在數學教育中，我們所說的“套用意識”主要是指數學的套用這方面的含義。也就是說，看到了數學的普遍套用性特點。數學的結果──定理和理論──既重要又有用；不僅如此，最好的結果還是精美而且深刻的。通過其定理，數學向科學既提供了真理的基礎，也提供了正確性的標準。
除了定理和理論外，數學還提供了有特色的思考方式，包括建立模型、抽象化、最最佳化、邏輯分析、從數據進行推斷，以及運用符號等，它們是普遍適用並且強有力的思考方式。套用這些數學思考的方式的經驗構成了數學能力──在當今這個技術時代日益重要的一種智力，它使人們能批判地閱讀，能識別謬誤，能探察偏見，能估計風險，能提出變通辦法。數學能使我們更好地了解我們生活在其中的充滿信息的世界。
為此，數學教育中提出要對學生進行數學的套用意識的培養。此時，套用意識的主要含義是指，善於從數學的角度，用數學的語言、知識、思想方法去描述、理解、思考和解決各種問題的心理傾向性。
在中國小數學課程中，培養套用意識的做法可從三個方面展開：一是將數學知識套用在數學課內，通過一些簡單的套用可以直接引起學生的學習動機，讓學生看到數學知識的用處；二是將數學套用在其他學科的學習中，通過數學與其他學科的聯繫，使學生深刻認識到數學科學的思想方法對於科學發展的作用；三是將數學套用於實踐活動中，通過用數學的知識解決現實生活的問題，培養學生的套用意識。
“問題──模式──解釋、套用與拓展”
由於數學揭示出隱蔽的模式以幫助我們了解周圍的世界，而且當代的數學已經遠不止是算術和幾何、而是一門豐富多彩的學科了。當代的數學所處理的是科學中的數據、測量、觀測資料；是推斷、演繹、證明；是自然現象、人類行為、社會系統的數學模型。從數據到演繹到套用的循環一再出現在所有用到數學的地方，從諸如計畫長途旅行之類的日常家務事到諸如航空運輸計畫或投資業務的管理之類的重大管理問題。“做”數學的過程遠遠超出了僅僅是計算或演繹，它涉及模式的觀察，猜測的檢驗以及結果的估計。因此，實際上，數學是模式和秩序的科學。數學的領域不是分子或細胞，而是數、機會、形狀、算法和變化。作為研究抽象對象的科學，數學依靠邏輯而不是觀測結果作為其真理標準，但數學也使用觀測、模擬甚至實驗作為發現真理的手段。
這樣一來，通過對各種數學活動進行足夠深度的分析，就可發現它至少分為三個階段：
（1）藉助於觀察、試驗、歸納、類比、概括等手段來積累事實材料；
（2）由事實材料中抽象出概念體系，以及由此而演繹地建立起來數學理論；
（3）數學理論套用的階段。
傳統教學過於重視第二階段的教學，結果造成學生所學的數學知識不能學以致用，不知數學理論的來龍去脈。為克服這些不足，現代數學教育教學提倡上述三個階段對學生的數學學習具有同等重要的作用。同時，按照建構主義的觀點，數學教學應為學生創設問題情境，以便學生能夠積累內容豐富並且容易理解的事實材料。這樣才能按照現代人們對數學科學的理解：數學是關於模式和秩序的科學，從而提出數學教學應該培養學生學習建立模式的各種方法。當然，大多數人學習數學的目的不僅僅是為了領會或理解數學，而是為了使用數學。因此，解釋、套用與拓展所學習的數學理論就應是數學學習的最終目的。
人民教育出版社國小數學室
