定義
代數定義
設二維空間內有兩個向量和定義它們的數量積（又叫內積、點積）為以下實數：
公式更一般地，n維向量的內積定義如下:
公式等價性
以三維空間為例子①幾何定義推導代數定義
根據向量坐標的意義可知
根據點乘的分配律得
又，
所以
注意：點乘的分配律在空間內可通過幾何證明，無需藉助向量關係，因此不屬於循環推導。
②代數定義推導幾何定義
設，，它們的終點分別為和，原點為O，夾角為。則
在△OAB中，由余弦定理得：
利用距離公式對這個等式稍作處理，得
去括弧、合併得
注意：餘弦定理和距離公式亦無需向量知識
點積的值編輯
u的大小、v的大小、u,v夾角的餘弦。在u,v非零的前提下，點積如果為負，則u,v形成的角大於90度；如果為零，那么u,v垂直；如果為正，那么u,v形成的角為銳角。
點積
點積
兩個單位向量的點積得到兩個向量的夾角的cos值，通過它可以知道兩個向量的相似性，利用點積可判斷一個多邊形是否面向攝像機還是背向攝像機。
向量的點積與它們夾角的餘弦成正比，因此在聚光燈的效果計算中，可以根據點積來得到光照效果，如果點積越大，說明夾角越小，則物理離光照的軸線越近，光照越強。
運算律編輯
交換律：
分配律：
結合律：，其中m是實數。
套用編輯
平面向量的數量積a·b是一個非常重要的概念，利用它可以很容易地證明平面幾何的許多命題，例如勾股定理、菱形的對角線相互垂直、矩形的對角線相等等。如證明：
（1）勾股定理： Rt△ABC中，∠C=90°，則
|CA|²+|CB|²=|AB|²。
∵AB=CB-CA
∴AB²=(CB-CA)²=CB·CB-2CA·CB+CA·CA
又∵∠C=90°，有CA⊥CB，於是CA·CB=0
∴AB²=AC²+BC²
（2）菱形對角線相互垂直：菱形ABCD中,點O為對角線AC、BD的交點，求證AC⊥BD。
設|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a
∵AC=(AB+BC)，BD=(BC+CD)
∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a²cos(π-α)+a²-a²+a²cosα
又∵cosα=-cos(π-α)
∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0
∴AC⊥BD
在生產生活中，點積同樣套用廣泛。利用點積可判斷一個多邊形是否面向攝像機還是背向攝像機。向量的點積與它們夾角的餘弦成正比，因此在聚光燈的效果計算中，可以根據點積來得到光照效果，如果點積越大，說明夾角越小，則物理離光照的軸線越近，光照越強。物理中，點積可以用來計算合力和功。若b為單位矢量，則點積即為a在方向b的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。計算機圖形學常用來進行方向性判斷，如兩矢量點積大於0，則它們的方向朝向相近；如果小於0，則方向相反。矢量內積是人工智慧領域中的神經網路技術的數學基礎之一，此方法還被用於動畫渲染（Animation-Rendering）。
線性變換中點積的意義：
根據點積的代數公式：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn，假設a為給定權重向量，b為特徵向量，則a·b其實為一種線性組合，函式F（a·b）則可以構建一個基於a·b+c=0（c為偏移）的某一超平面的線性分類器，F是個簡單函式，會將超過一定閾值的值對應到第一類，其它的值對應到第二類。
