克卜勒第一定律

克卜勒第一定律

克卜勒第一定律,也稱橢圓定律、軌道定律、行星定律。每一行星沿各自的橢圓軌道環繞太陽,而太陽則處在橢圓的一個焦點上。 克卜勒第一定律是由德國天文學家約翰尼斯·克卜勒提出的。在此定律以前,人們認為天體的運行軌道是:“完美的圓形”.

定律定義

克卜勒在《宇宙和諧論》發表的表述:每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽,而太陽則處在橢圓的一個焦點中。

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數學推導

設定

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這樣,角速度是

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對時間微分和對角度微分有如下關係:

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根據上述關係,徑向距離 對時間的導數為:

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再求一次導數:

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代入徑向運動方程

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將此方程除以

,則可得到一個簡單的常係數非齊次線性全微分方程來描述行星軌道:

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為了解這個微分方程,先列出一個特解

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再求解剩餘的常係數齊次線性全微分方程,

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它的解為

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這裡,

是常數。合併特解和與齊次方程解,可以得到通解

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選擇坐標軸,讓

。代回

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其中,

是離心率。

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這是圓錐曲線的極坐標方程,坐標系的原點是圓錐曲線的焦點之一。假若

,則

所描述的是橢圓軌道。這證明了克卜勒第一定律。

發展簡史

克卜勒1596年出版《宇宙的神秘》一書受到 第谷的賞識,應邀到布拉格附近的天文台做研究工作。1600年,到布拉格成為第谷的助手。次年第谷去世,克卜勒成為第谷事業的繼承人。

第谷去世後克卜勒用很長時間對第谷遺留下來的觀測資料進行分析,他在分析火星的公轉時發現,無論按哥白尼的方法還是按托勒密或第谷的方法,算出的軌道都不能同第谷的觀測資料相吻合,他堅信觀測的結果,於是他想到火星可能不是作當時人們認為的勻速圓周運動,他改用各種不同的幾何曲線來表示火星的運動軌跡,終於發現了“火星沿橢圓軌道繞太陽運行。

克卜勒在1619年出版的《 宇宙和諧論》發表該定律。

定律影響

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克卜勒第二定律:在相等時間內,太陽和運動中的行星的連線(向量半徑)所掃過的面積都是相等的。 這一定律實際揭示了行星繞太陽公轉的角動量守恆。

克卜勒第三定律:是指繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星,其橢圓軌道半長軸的立方與周期的平方之比是一個常量。這裡,a是行星公轉軌道半長軸,T是行星公轉周期,K是常數,其大小隻與中心天體的質量有關。

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